随机控制实验 - 林深见鹿

基本概念#

考虑如下场景, 某大型制药公司研发了一款新药并想测试其疗效, 病人服用该药后病情果真得到明显改善, 我们可以据此得出该药有效的结论吗? 显然是不能的, 因为根本不能明确病情改善得益于药物, 而非其他混杂因素. 那么究竟应该怎么做才能真正测试疗效? 这就是因果推断的出发点.

设 $D_i\in\{0,1\}$ 表示个体 $i$ 是否接受处置 (服药), 其中 $D_i=1$ 表示接受, $D_i=0$ 表示不接受. 再设 $Y_{i,t}$ 代表个体 $i$ 在 $t$ 时刻的结果变量 (病人健康), 如果个体 $i$ 在基期未接受处置且下一期也未接受, 此时 $Y_{i,t}(0)$ 表示个体 $i$ 在 $t$ 时刻的 潜在结果 (potential outcome) 如果个体 $i$ 在基期未接受处置而在下一期接受, 则此时个体 $i$ 在 $t$ 时刻的潜在结果为 $Y_{i,t}(1)$ . 为了简化符号. 特别地, 当只有两期数据时, 下标 $t$ 可以省略, $Y_{i,2}(1)$ 和 $Y_{i,2}(0)$ 分别简化为 $Y_i(1)$ 和 $Y_i(0)$ .

下面我们只考虑两期数据的情形. 对于个体 $i$ , 处置 $D$ 对她的 处置效应 (treatment effect) 为¹

\Delta_{i}=Y_{i}(1)-Y_{i}(0)

值得注意的是, 由于我们无法同时观测到 $Y_{i}(0)$ 和 $Y_{i}(1)$ , 故而 $\Delta_{i}$ 是完全不可知的. 事实上, 我们只能观测到

Y_{i}=D_iY_{i}(1)+(1-D_i)Y_{i}(0)

然而, 我们或许仍能用 随机控制实验 (Randomized Controlled Trial, RCT) 来获取 $\Delta_{i}$ 的某些性质. 在某些情况下, 大型的随机实验可以让我们得到 平均处置效应 (Average Treatment Effect, ATE)

\begin{equation} \tau=\mathbb{E}[Y_{i}(1)-Y_{i}(0)] \tag{C.1} \end{equation}

这里的 $\tau$ 指的是 $\Delta_{i}$ 在总体上的平均值. 继续之前的例子, 个体服药效果 $\Delta_{i}$ 等于个体 $i$ 在 $t$ 时刻服药后的健康程度减去个体 $i$ 在 $t$ 时刻没有服药的健康程度, 因为她不能既服药又不服药, 所以 $\Delta_{i}$ 无法观测, 但是在一定假设下, RCT使得我们能够得到个体服药效果在总体中的平均值 $\tau$ .

什么样的假设? 只需要求i.i.d.样本 $\{Y_{i},D_i\}_{i=1}^n$ 满足 个体稳定处置效应假设 (SUTVA) 以及 随机处置指派 (random treatment assignment), 也即

\begin{align*} Y_{i}&=Y_{i}(D_i) \\ \{Y_{i}(0),Y_{i}(1)\} &\perp D_i \end{align*}

其中SUTVA表明任何个体的潜在结果不随其它个体是否接受处置而变化, 并且每一个体所接受的处置水平是唯一的, 因此处置所导致的潜在结果也是唯一 (该假设无法验证是否成立); 随机处置指派表明处置独立于潜在结果, 是完全随机化的.

基于SUTVA和随机处置指派, ATE可以被识别为

\begin{equation} \tau^\ast=\mathbb{E}[Y_i|D_i=1]-\mathbb{E}[Y_i|D_i=0] \tag{C.2} \end{equation}

这是因为可以将 $\tau^\ast$ 分解为

\tau^\ast=\tau+\text{bias}

其中

\begin{align*} \text{bias}&=(\mathbb{E}[Y_i(1)|D_i=1]-\mathbb{E}[Y_i(1)|D_i=0])\mathbb{P}[D_i=0] \\ &\quad +(\mathbb{E}[Y_i(0)|D_i=1]-\mathbb{E}[Y_i(0)|D_i=0])\mathbb{P}[D_i=1] \end{align*}

根据随机处置指派可知 $\text{bias}=0$ , 从而 $\tau^\ast=\tau$ . 根据式(C.2) 我们可以得到 均值差 (Difference-in-Means, DM) 估计量

\hat{\tau}_{\text{DM}}=n_1^{-1}\sum_{D_i=1}Y_i-n_0^{-1}\sum_{D_i=0}Y_i

这里的 $n_d=|\{i:D_i=d\}|$ . DM估计量具有无偏性

\mathbb{E}[\hat{\tau}_\text{DM}]=\mathbb{E}[Y_i(1)]-\mathbb{E}[Y_i(0)]=\tau

进一步, 在标准的CLT条件下可以证明

\sqrt{n}(\hat{\tau}_{\text{DM}}-\tau)\xrightarrow{d}\mathcal{N}(0,V_{\text{DM}})

其中 $V_\text{DM}=\mathrm{var}[Y_i(0)]/\mathbb{P}[D_i=0]+\mathrm{var}[Y_i(1)]/\mathbb{P}[D_i=1]$ , 它的一致估计量为

\hat{V}_\mathrm{DM}=\frac{1}{n_1-1}\sum_{D_i=1}\left(Y_i-\frac{1}{n_1}\sum_{D_i=1}Y_i\right)^2+\frac{1}{n_0-1}\sum_{D_i=0}\left(Y_i-\frac{1}{n_0}\sum_{D_i=0}Y_i\right)^2

线性回归模型与RCT的关系#

初级的计量经济学早已讲授过线性回归模型，这里将介绍它与RCT的关系. 仍考虑两期数据, 假设 数据生成过程(DGP) 为

\begin{equation} Y_i(d)=c_{(d)}+X_i'\beta_{(d)}+e_i(d) \tag{C.3} \end{equation}

并且满足 $\mathbb{E}[e_i(d)|X_i]=0$ 且 $\mathrm{var}[e_i(d)|X_i]=\sigma^2$ . 简单起见, 我们还假设

\begin{equation} \mathbb{P}[D_i=0]=\mathbb{P}[D_i=1]=\frac{1}{2} \tag{C.4} \end{equation}

此时

\begin{align*} V_\text{DM}&=\mathrm{var}[Y_i(0)]/\mathbb{P}[D_i=0]+\mathrm{var}[Y_i(1)]/\mathbb{P}[D_i=1] \\ &=4\sigma^2+||\beta_{(0)}+\beta_{(1)}||_A^2+||\beta_{(0)}-\beta_{(1)}||_A^2 \end{align*}

最后, 我们还可以不失一般性地假设 $\mathbb{E}[X_i]=0$ . 另一方面, 根据DGP可知ATE可以表示为

\tau=\mathbb{E}[Y_i(1)-Y_i(0)]=c_{(1)}-c_{(0)}+\mathbb{E}[X_i]\cdot[\beta_{(1)}-\beta_{(0)}]

自然而然, 可以得到 $\tau$ 的OLS估计量

\hat{\tau}_\text{OLS}=\hat{c}_{(1)}-\hat{c}_{(0)}+\bar{X}'[\hat{\beta}_{(1)}-\hat{\beta}_{(0)}]

这里的 $\bar{X}=n^{-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$ . 进一步可以证明

\sqrt{n}(\hat{\tau}_\text{OLS}-\tau)\xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,V_\text{OLS})

并且 $V_\text{DM}=V_\text{OLS}+||\beta_{(0)}+\beta_{(1)}||_A^2$ , 可见使用OLS减少了线性DGP情况下的渐近误差. 这一结论毫不令人惊讶, 因为我们已经假设了DGP是线性的.

进一步, 对于任意DGP

Y_i(d)=\mu_{d}(X_i)+e_i(d)

仍然假定 $\mathbb{E}[e_i(d)|X_i]=0$ , $\mathrm{var}[e_i(d)|X_i]=\sigma^2$ , $\mathbb{P}[D_i=1]=1/2$ . 易知

\sqrt{n}(\hat{\tau}_\text{DM}-\tau)\xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,V_\text{DM2})

$其中$

V_\text{DM2}=4\sigma^2+2\mathrm{var}[\mu_{0}(X_i)]+2\mathrm{var}[\mu_{1}(X_i)]

另一方面, 考虑如下OLS估计量

\begin{align*} \hat{\tau}_\text{OLS2}&=n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\left[\hat{\mu}_{1}(X_i)-\hat{\mu}_{0}(X_i)\right] \\ \hat{\mu}_{d}(X_i)&=\hat{c}_{(d)}+X_i'\hat{\beta}_{(d)} \end{align*}

可以证明

\sqrt{n}(\hat{\tau}_\text{OLS2}-\tau)\xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,V_\text{OLS2})

并且 $V_\text{DM2}=V_\text{OLS2}+||\beta^\ast_{(0)}+\beta^\ast_{(1)}||^2_A$ , 这里的 $\beta^\ast_{(d)}$ 满足

[c^\ast_{(d)},\beta^\ast_{(d)}]=\arg\min_{c,\beta}\mathbb{E}[(Y_i(d)-X_i'\beta-c)^2]

换言之, 无论 $\mu_d(x)$ 是否是线性函数, OLS几乎总能减少DM的渐近方差! 这也解释了为何在RCT中使用线性回归模型来推断ATE: 在SUTVA和随机处置指派下, RCT可以正确识别ATE, 并且OLS和DM均能得到ATE的一致估计量，但前者是渐近有效的.

这里暗含了 $\Delta_{i}$ 是存在的, 对个体 $i$ 的处置或不处置仅影响自己, 不会影响到其他个体. 这个隐含的假设在医学实验中是可行的, 但是在社会科学或经济学中似乎不太合理. ↩

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线性回归模型与RCT的关系#

Footnotes#